抽象代数是研究带有特定操作符（一个或多个）的集合的学科。在我们的讨论范围内，我们只关心其操作符为二元操作符的集合。
给定一个带有二元操作符的集合，我们可以根据二元操作符的行为以及集合中允许（或预期）存在的元素对这些集合进行分类。
数学家们为集合上二元操作符的每种可能行为都规定了专门的术语。作为应用型程序员，我们最主要关注的是群（Group，源自群论），但让我们循序渐进地了解它。在这个庞大的代数动物园中，群只是其中的一种。因此，与其孤立地研究群，不如将其放在相关的代数结构（即带有二元操作符的集合）的大背景下进行研究。
抽象代数是一个极其庞大的领域，但我们此处的目的是清晰地理解什么是 群 ，因为在零知识证明（Zero Knowledge Proofs）中它无处不在。我们现在就可以给出一个定义：
群是一个带有二元操作符的集合，该操作符满足封闭性、结合律，具有单位元，且每个元素都有一个逆元。
<aside> 💡 💡 一句话理解：这一长串定义其实是『四道门槛』，从松到严层层加码。最宽松的叫原群（只要算完不跑出集合），加上『结合律』变半群，再加个『不起作用的元素（单位元）』变幺半群，最后再要求『人人都有反操作（逆元）』就成了群。后面会一关一关讲，现在记住群是要求最严的那个就行。
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但这种简练的定义往往不够具有启发性。将其与更广泛的抽象代数领域联系起来理解会更有帮助。
原群（Magma）是一个具有封闭二元操作符的集合。仅此而已。
<aside> 💡 💡 打个比方：『封闭』就像一个只进不出的房间——你拿房间里的两样东西做运算，结果还得乖乖待在房间里。比如整数加整数永远是整数（$3+5=8$），不会突然蹦出个分数。原群的唯一要求就是这个，别的什么都不管。
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作为一个程序员，你凭借直觉绝对能理解原群。现在你只是知道了它的专业名称。
例如，考虑所有正整数的集合，我们的二元操作符是 $x^y$ 。注意我们不允许有负数，因为如果 $y$ 为负数，我们就会得到分数。
很明显，输出结果必定在整数空间内。我们的函数是 $(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z})$ 和 $\mathbb{Z}$ 的笛卡尔积（关系）的一个子集。具体而言， $x^y$ 是一个从 $(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z})$ 映射到 $\mathbb{Z}$ 的函数。
<aside> 💡 💡 这串符号别被吓到：$\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ 就是『任挑两个整数配成一对』，比如 $(3,2)$。而 $x^y$ 就是一台机器，喂进去一对 $(3,2)$，吐出来一个整数 $3^2=9$。所谓『从 $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ 映到 $\mathbb{Z}$』，无非是说：进去是一对数，出来是一个数，仅此而已。
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有趣的是，这个例子既不满足交换律，也不满足结合律。你可以通过在下面的 Python 代码中为 a 、 b 和 c 选择不同的值来亲自验证这一点。
assert a ** (b ** c) != (a ** b) ** c
assert a ** b != b ** a
但我们并不在乎这一点。原群（Magma）是限制最少的 代数结构 之一。唯一重要的是其二元操作符必须具有封闭性。至于其他特性则均不做要求。
代数结构 指的是一个带有在该集合上定义的一系列操作的集合。在我们的讨论范围内，我们唯一关心的操作就是二元操作符。
半群（Semigroup）是一种二元操作符必须满足结合律的原群（Magma）。