本文提供了几个代数群的例子，以便您能对它们建立直观的认识。
群（group）是一个包含以下特征的集合：
<aside> 💡 💡 一句话理解：『群』就是一个『玩家名单 + 一种固定玩法』的套装，必须同时满足四条规矩。打个比方：名单是所有整数，玩法是『相加』。封闭=两个成员相加结果还在名单里（$3+5=8$ 还是整数）；结合律=$(2+3)+4$ 和 $2+(3+4)$ 算出来一样，加括号的位置随便；单位元=有个『什么都不改变』的成员（这里是 $0$，谁加 $0$ 都不变）；逆元=每个成员都有个『搭档』，俩一凑就变回单位元（$5$ 和 $-5$ 相加得 $0$）。四条全中，才配叫群。
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我们之前还讨论过阿贝尔群（abelian groups）。阿贝尔群有一个额外的要求，即二元运算符必须满足交换律。
现在是时候将群作为一种数学结构来进行讨论了。
使用整数加法作为群的例子时，一个令人困惑的地方是学生经常会问：“但你难道不能把整数相乘吗？”
不可否认，这确实容易让人混淆。还有其他的代数结构，比如环（rings）和域（fields），它们涉及两个二元运算符。但是，就目前而言，请将群看作是只有一个固定不变的二元运算符的结构，而且从群的视角来看，任何其他可能的二元运算符要么不存在，要么不需要关注。
更令人困惑的是：有时候二元运算符是其他二元运算符伪装的。
例如，在处理只有加法运算的群时，有时作者会随意提及乘法，即使该群并没有这个二元运算符。在这种语境下的乘法，实际上只是重复执行某次加法运算特定次数的简写形式。
<aside> 💡 💡 这里最绕的是：群里明明只有『加法』一种玩法，作者却突然写起了『乘法』。其实那是障眼法——这种『乘法』只是『连加好几次』的缩写。比如 $3 \times 5$ 在这里不是真的乘，而是『把 $5$ 加 $3$ 次』，即 $5+5+5$。就像你说『买 3 份套餐』，本质还是把同一份钱掏了 3 回，并没有引入新玩法。
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感受群的最好方法就是看大量的例子。让我们开始吧。
假设我们的群是一个由数字 $\set{0}$ 组成的集合，其二元运算符为加法。很明显，该二元运算符是封闭的且满足结合律
$$ (0 + 0) + 0 = (0 + 0) + 0 $$
而且每个元素都有一个单位元和逆元。